Если ветеринар профессионал, то усыпление животного происходит безболезненно, вот здесь
https://ritual24.vet/usypit-sobaku/ как это делается, собака просто уснет. У нас был похожий случай, тоже пришлось усыпить собаку, и всё было именно так, как описано в этой статье.